Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x/2 + 4/x)^18 - Tìm số hạng không chứa x trong khai triển (x/2 + 4/x)^18,Toán học Lớp 11,bài tập Toán học Lớp 11,giải bài tập Toán học Lớp 11,Toán học,Lớp 11 Lazi - Người trợ giúp bài tập về nhà 24/7 của bạn. ĐĂNG KÝ . ĐĂNG NHẬP Lấy M là kim loại Natri có hóa trị 1 chúng ta được: - Na(H 2 PO 4) - Na 2 (HPO 4) Trên đó chính là 2 công thức muối axit. b. Muối trung hòa chứa gốc PO 4 Công thức muối trung hòa có chứa gốc PO 4 có dạng: M 3 (PO 4) x với: M là kim loại x là số hóa trị của kim loại M. 3. Chủ đề 5. Phương trình bậc hai với hệ số thực; Chủ đề 6. Dạng lượng giác của số phức; Chủ đề 7. Phương trình bậc hai với hệ số phức; Chủ đề 8. Ứng dụng của số phức; Hình học 12 . Chương I: Khối đa diện . Chủ đề 1. Khái niệm về khối đa diện; Chủ đề 2. tìm GTLN và GTNN của hàm số. Nội dung chính: [ Ẩn] 1. Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác đơn giản. Một số biến đổi cơ bản đưa hàm số về 1 hàm lượng giác duy nhất. 2. Sử dụng bảng biến thiên của hàm số để tìm GTLN và GTNN của hàm lượng giác. 3. Tìm GTLN và GTNN Thừa số x vượt số = Tích. Muốn tìm Thừa số chưa biết trong một tích : Ta lấy tích phân chia cho vượt số sẽ biết. X x b = cX = c : b. a x X = cx = c : a. 4. Phép chia: * tìm kiếm Số bị chia chưa biết: Ta rước thương nhân với số chia.x : b = cx = c x b* tra cứu Số chia không biết . Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhiều hạng tử ba hạng tử, bốn hạng tử …, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Tổ hợp và Xác 1 Tìm hệ số của ${x^6}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}1 + x} \right]^7}.$Lời giải Ta có ${\left[ {1 + {x^2}1 + x} \right]^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{2k}}{1 + x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {{x^2} + {x^3}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{x^{2k + h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^kC_k^h{x^{2k + h}}.$ Để có hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {2k + h = 6}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..7} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {h = 0}\\ {k = 3} \end{array}} \right.}\\ {\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {h = 2}\\ {k = 2} \end{array}} \right.} \end{array}} \right..$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $C_7^3C_3^0 + C_7^2C_2^2 = 56.$Bài 2 Tìm hệ số của ${x^4}$ trong khai triển ${\left {1 + 2x + 3{x^2}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {1 + 2x + 3{x^2}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2x + 3{x^2}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {2x^{k – h}}{\left {3{x^2}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^k {C_{10}^k} } C_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^kC_k^h{2^{k – h}}{3^h}{x^{k + h}}.$ Để có hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + h = 4}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..10} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k;h \in \{ 4;0;3;1;2;2\} .$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là $C_{10}^4C_4^0{2^4} + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3 + C_{10}^2C_2^2{3^2} = 8085.$ Cách khác Ta có ${\left {1 + 2x + 3{x^2}} \right^{10}}$ $ = {[1 + x2 + 3x]^{10}}$ $ = C_{10}^0$ $ + C_{10}^1x2 + 3x$ $ + C_{10}^2{x^2}{2 + 3x^2}$ $ + C_{10}^3{x^3}{2 + 3x^3}$ $ + C_{10}^4{x^4}{2 + 3x^4}$ $ + C_{10}^5{x^5}{2 + 3x^5}$ $ + \ldots + C_{10}^{10}{x^{10}}{2 + 3x^{10}}.$ Ta nhận thấy rằng số mũ của $x$ trong khai triển tăng dần, và ${x^4}$ chỉ chứa trong số hạng thứ $2$, thứ $3$, thứ $4$ trong khai triển trên. Từ đó ta phân tích các khai triển $C_{10}^2{x^2}{2 + 3x^2}$ $ = C_{10}^2C_2^0{2^2}{x^2}$ $ + C_{10}^2C_2^ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}{x^4}.$ $C_{10}^3{x^3}{2 + 3x^3}$ $ = C_{10}^3C_3^0{2^3}{x^3}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3{x^4}$ $ + C_{10}^3C_3^2{ $ + C_{10}^3C_3^3{3^3}{x^6}.$ $C_{10}^4{x^4}{2 + 3x^4}$ $ = C_{10}^4C_4^0{2^4}{x^4}$ $ + C_{10}^4C_4^1{2^3}.3{x^5}$ $ + \ldots + C_{10}^4C_4^4{3^4}{x^8}.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^4}$ trong khai triển là $C_{10}^4C_4^0{2^4}$ $ + C_{10}^3C_3^1{2^2}.3$ $ + C_{10}^2C_2^2{3^2}$ $ = 8085.$Bài 3 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^9}.$Lời giải Ta có ${\left {1 + 2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left {2x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {2x^{k – h}}{\left { – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_9^k} } C_k^h{2^{k – h}}{ – 1^h}{x^{k – 3h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_9^kC_k^h{2^{k – h}}{ – 1^h}{x^{k – 3h}}.$ Để có số hạng không chứa $x$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k – 3h = 0}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..9} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k;h \in \{ 3;1;6;2;9;3\} .$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_9^3C_3^1{2^2}{ – 1^1}$ $ + C_9^6C_6^2{2^4}{ – 1^2}$ $ + C_9^9C_9^3{2^6}{ – 1^3}$ $ = 14122.$Bài 4 Tìm số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển ${\left {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right^7}.$Lời giải Ta có ${\left {1 – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left { – 2\sqrt x + \frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}}} \right^k}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} \sum\limits_{h = 0}^k {C_k^h} {\left { – 2{x^{\frac{1}{2}}}} \right^{k – h}}{\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^h}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {\sum\limits_{h = 0}^k {C_7^k} } C_k^h{ – 2^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^kC_k^h{ – 2^{k – h}}{x^{\frac{{3k – 7h}}{6}}}.$ Để có số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} = {x^{ – \frac{1}{3}}}$, ta chọn $k$, $h$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\frac{{3k – 7h}}{6} = – \frac{1}{3}}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..7} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {3k – 7h = – 2}\\ {h \le k}\\ {k = \overline {0..7} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4}\\ {h = 2} \end{array}} \right..$ Vậy số hạng chứa $\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}}$ trong khai triển là $C_7^4C_4^2{ – 2^2}{x^{\frac{{ – 1}}{3}}} = \frac{{840}}{{\sqrt[3]{x}}}.$Bài 5 Khai triển $fx = {\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ và viết lại dưới dạng $fx = {a_0} + {a_1}x + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_9}.$Lời giải Ta có $fx = {\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ $ = {1 + x^5}{\left {1 + {x^3}} \right^5}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}.\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^l} {\left {{x^3}} \right^l}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{l = 0}^5 {C_5^k} } C_5^l{x^{k + 3l}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_5^kC_5^l{x^{k + 3l}}.$ Nhận thấy ${a_9}$ chính là hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển, vì vậy chọn $k$, $l$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + 3l = 9}\\ {k,l = \overline {0..5} } \end{array}} \right..$ Suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {l = \frac{{9 – k}}{3}}\\ {k,l = \overline {0..5} } \end{array}} \right.$, do đó $k \vdots 3$ $ \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 0 \Rightarrow l = 3}\\ {k = 3 \Rightarrow l = 2} \end{array}} \right..$ Vậy có hai cặp số $k,l$ thỏa mãn. Suy ra hệ số của số hạng chứa ${x^9}$ trong khai triển là $C_5^3C_5^2 + C_5^0C_5^3 = 110.$Bài 6 Giả sử ${\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ có khai triển thành đa thức ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{15}}{x^{15}}.$ Tính ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {1 + x + {x^2} + {x^3}} \right^5}$ $ = {\left[ {1 + x\left {1 + {x^2}} \right} \right]^5}$ $ = {1 + x^5}{\left {1 + {x^2}} \right^5}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^h} {x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{x^{k + 2h}}.$ Chọn $x = -1$, ta được ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {\sum\limits_{h = 0}^5 {C_5^k} } C_5^h{ – 1^{k + 2h}}$ $ = \left {1 – 1 + {1^2} + {{ – 1}^3}} \right = 0.$ Vậy ${a_0} – {a_1} + {a_2} – {a_3} + \ldots – {a_{15}} = 0.$Bài 7 Trong khai triển ${x + y + z^n}$, tìm số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ $k,m < n.$Lời giải Ta có ${x + y + z^n}$ $ = {[y + z + x]^n}$ $ = C_n^0{y + z^n}$ $ + C_n^1x{y + z^{n – 1}}$ $ + C_n^2{x^2}{y + z^{n – 2}}$ $ + \ldots + C_n^k{x^k}{y + z^{n – k}}$ $ + \ldots + C_n^n{x^n}.$ Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ nằm trong khai triển $C_n^k{x^k}{y + z^{n – k}}.$ Mặt khác ta có ${y + z^{n – k}}$ $ = C_{n – k}^0{z^{n – k}}$ $ + C_{n – k}^1y{z^{n – k – 1}}$ $ + C_{n – k}^2{y^2}{z^{n – k – 2}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^m{y^m}{z^{n – k – m}}$ $ + \ldots + C_{n – k}^{n – k}{y^{n – k}}.$ Do đó số hạng chứa ${x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}$ trong khai triển là $C_n^kC_{n – k}^m{x^k}{y^m}{z^{n – k – m}}.$Bài 8 Trong khai triển ${\left {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right^{10}}$, tìm số hạng chứa ${x^5}.$Lời giải Ta có ${\left {2{x^3} + 2{x^2} + x + 1} \right^{10}}$ $ = {\left[ {1 + x\left {1 + 2{x^2}} \right} \right]^{10}}$ $ = {1 + x^{10}}{\left {1 + 2{x^2}} \right^{10}}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {2^{2h}}{x^{2h}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^k} } C_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^kC_{10}^h{2^{2h}}{x^{k + 2h}}.$ Để có số hạng chứa ${x^5}$, ta chọn $k$, $h$ sao cho $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k + 2h = 5}\\ {h,k = \overline {0..10} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k;h \in \{ 1;2;3;1\} .$ Vậy số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển là $C_{10}^1C_{10}^2{2^4}{x^5} + C_{10}^3C_{10}^1{2^2}{x^5}$ $ = 12000{x^5}.$ giới thiệu đến các em học sinh lớp 11 bài viết Tìm hệ số không chứa x, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 11. Nội dung bài viết Tìm hệ số không chứa x Để tìm số hạng không chứa c trong khai triển Px, ta tìm số hạng tổng quát trong khai triển. Sau đó, cho số mũ của c bằng 0 để tìm hằng số k, từ đó suy ra số hạng không chứa c. Ví dụ 1. Tìm số hạng không chứa c trong khai triển Pc. Ta phải tìm k sao cho 6 – 3k = 0 + k = 2. Vậy số hạng cần tìm là C226-27-1 = 240. Ví dụ 2. Tìm số hạng không chứa 2 trong khai triển P. Số hạng tổng quát trong khai triển là C-27. Ví dụ 3. Tìm số hạng không chứa 3 trong khai triển Px. Do n là số tự nhiên nên m = 12. Với m = 12, số hạng tổng quát trong khai triển là 24-3k. Ta phải tìm k sao cho 24 – 3k = 0 + k = 8. Vậy số hạng cần tìm là C 2^n. Ví dụ 4. Tìm số hạng không chứa c trong khai triển Px. Ta phải tìm k sao cho –8 + 4k = 0 + k = 2. Vậy số hạng cần tìm là C26. BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1. Tìm số hạng không chứa 3 trong khai triển Px = 2×2 + 1 với khác 0. Ta phải tìm k sao cho 12 – 3k = 0, k = 4. Vậy số hạng cần tìm là= 4860. Bài 2. Tìm số hạng không chứa 1 trong khai triển Px = x – 4 với z khác 0 biết 2C = C. Lời giải. Điều kiện m > 3, n + N. Ta phải tìm k sao cho 8 – 2k = 0 + k = 4. Vậy số hạng cần tìm là C4 = 70. Bài 3. Cho khai triển Px = x+3. Tìm số hạng không chứa 3 trong khai triển, biết số hạng thứ ba trong khai triển bằng 5. Số hạng thứ ba trong khai triển bằng 5 nên AC = 5 + n = 9. Với n = 9, số hạng tổng quát của khai triển. Ta tìm k sao cho 9 – k = 0 = k = 9. . Vậy số hạng không chứa c là CH3- = neo. Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số hoặc số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển chứa điều kiện, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11 Tổ hợp và xác PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Các bài toán loại này thường chưa biết $n$ trong khai triển, do đó ta thực hiện các bước + Từ điều kiện bài toán tìm $n$ hoặc các ẩn liên quan. + Sau đó thực hiện tương tự bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển biết $n$ đã được đề cập trước đó trên BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Tìm số hạng chứa ${x^5}$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn của ${\left {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right^n}$ với $x \ne 0.$Lời giải Xét phương trình $5C_n^{n – 1} = C_n^3.$ Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 3}\\ {n \in Z} \end{array}} \right..$ Phương trình $ \Leftrightarrow 5.\frac{{n!}}{{n – 1!}} = \frac{{n!}}{{3!n – 3!}}$ $ \Leftrightarrow 5n = \frac{{nn – 1n – 2}}{6}.$ $ \Leftrightarrow 30 = {n^2} – 3n + 2$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 7}\\ {n = – 4\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Khi đó ${\left {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right^n}$ $ = {\left {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {\frac{{{x^2}}}{2}} \right^{7 – k}}.{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là ${T_{k + 1}}$ $ = C_7^k{\left {\frac{{{x^2}}}{2}} \right^{7 – k}}.{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = C_7^k.\frac{{{x^{14 – 2k}}}}{{{2^{7 – k}}}}.\frac{{{{ – 1}^k}}}{{{x^k}}}$ $ = C_7^k.\frac{{{{ – 1}^k}}}{{{2^{7 – k}}}}.{x^{14 – 3k}}.$ Nếu hạng tử ${T_{k + 1}}$ chứa ${x^5}$ thì $14 – 3k = 5$ $ \Leftrightarrow k = 3.$ Vậy số hạng chứa ${x^5}$ là số hạng thứ $4$ trong khai triển là ${T_6} = C_7^3.\frac{{{{ – 1}^3}}}{{{2^4}}}.{x^5} = – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.$Bài 2 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^{10}}$ trong khai triển nhị thức Niutơn của ${2 + x^n}$, biết ${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + { – 1^n}C_n^n = 2048.$Lời giải Ta có ${3 + x^n}$ $ = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}}x$ $ + C_n^2{3^{n – 2}}{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.$ Chọn $x = – 1$, ta được ${3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1$ $ + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3$ $ + … + { – 1^n}C_n^n$ $ = {3 – 1^n} = {2^n}.$ Từ giả thiết suy ra ${2^n} = 2048 = {2^{11}}$ $ \Leftrightarrow n = 11.$ Suy ra ${2 + x^n}$ $ = {2 + x^{11}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} {2^{11 – k}}{x^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{11}^k{2^{11 – k}}{x^k}.$ Cho $k =10$, ta được hệ số của ${x^{10}}$ trong khai triển là $C_{11}^{10}.2 = 22.$Bài 3 Trong khai triển nhị thức ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^n}$, hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là $35.$ Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nói trên với $n \in {N^*}$.Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – 2k}}.$ Hệ số của số hạng thứ $k + 1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_n^k.$ Theo giả thiết ta có $C_n^2 – C_n^1 = 35$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 2,n \in N}\\ {\frac{{n!}}{{2!n – 2!}} – n = 35} \end{array}} \right..$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 2,n \in N}\\ {\frac{{nn – 1}}{2} – n = 35} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {n \ge 2,n \in N}\\ {{n^2} – 3n – 70 = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow n = 10.$ Do đó ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^5 = 252.$Bài 4 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right^n}$, biết rằng $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ $n$ là số tự nhiên lớn hơn $2$ và $x$ là số thực khác $0$.Lời giải Ta có $C_n^1 + C_n^3 = 13n$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{n – 1!}} + \frac{{n!}}{{3!n – 3!}} = 13n$ $ \Leftrightarrow n + \frac{{nn – 1n – 2}}{6} = 13n.$ $ \Leftrightarrow 1 + \frac{{n – 1n – 2}}{6} = 13$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 70 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 10}\\ {n = – 7\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Do đó ${\left {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right^n}$ $ = {\left {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^2}} \right^{10 – k}}{\left {{x^{ – 3}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{20 – 5k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển $C_{10}^k{x^{20 – 5k}}.$ Hệ số không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $20 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^4 = 210.$Bài 5 Khai triển biểu thức ${1 – 2x^n}$ ta được đa thức có dạng ${a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.$ Tìm hệ số của ${x^5}$ biết rằng ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71.$Lời giải Ta có ${1 – 2x^n}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{ – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{ – 2^k}{x^k}.$ Do đó ${a_k} = C_n^k.{ – 2^k}$, $\forall k = \overline {0..n} .$ Khi đó ${a_0} + {a_1} + {a_2} = 71$ $ \Leftrightarrow C_n^0 – 2C_n^1 + 4C_n^2 = 71.$ $ \Leftrightarrow 1 – 2n + 4\frac{{nn – 1}}{2} = 71$ $ \Leftrightarrow {n^2} + 2n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 5}\\ {n = – 7\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Suy ra ${1 – 2x^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.} { – 2^k}.{x^k}.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $C_7^5{ – 2^5} = – 672.$Bài 6 Tìm hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển nhị thức Newton của ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^n}$, biết rằng $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{20}} – 1.$Lời giải Xét khai triển ${1 + x^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$ Chọn $x = 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $*.$ Áp dụng công thức $C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}$, ta có $* \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n – 1}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow 2\left {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n$ $ = {2^{2n}} – 1.$ Từ giả thiết ta có ${2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1$ $ \Leftrightarrow n = 10.$ Khi đó ${\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^n}$ $ = {\left {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^{ – 4}}} \right^{10 – k}}{\left {{x^7}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{x^{11k – 40}}.$ Hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^k$ với $k$ thỏa mãn $11k – 40 = 26$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy hệ số của ${x^{26}}$ trong khai triển là $C_{10}^6 = 210.$Bài 7 Tìm hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển thành đa thức của ${2 – 3x^{2n}}$, trong đó $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.$Lời giải Ta có ${1 + x^{2n + 1}}$ $ = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x$ $ + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.$ Chọn $x = 1$, ta được $C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}$ $*.$ Chọn $x = -1$, ta được $C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1$ $ + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3$ $ + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2$ $ + C_{2n + 1}^4 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n}$ $ = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.$ Từ $*$ suy ra $2\left {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right$ $ = {2^{2n + 1}}.$ $ \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3$ $ + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.$ Theo giả thiết ta có ${2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}$ $ \Leftrightarrow n = 5.$ Từ đó suy ra ${2 – 3x^{2n}}$ $ = {2 – 3x^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{ – 1}^k}} C_{10}^k{2^{10 – k}}{3x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{ – 1}^k}} {.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là ${ – 1^k}{.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}.{x^k}.$ Để có hệ số chứa ${x^7}$ tương ứng với giá trị của $k$ thỏa mãn $k =7.$ Vậy hệ số chứa ${x^7}$ trong khai triển là ${ – 1^7}{.3^7}.C_{10}^7{.2^3}$ $ = – C_{10}^7{3^7}{2^3} = 2099520.$Bài 8 Tìm hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển nhị thức Newton ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^n}$, biết rằng $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7n + 3$ $n$ nguyên dương, $x>0$.Lời giải Ta có $C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n$ $ = 7n + 3$ $ \Leftrightarrow \frac{{n + 4!}}{{3!n + 1!}} + \frac{{n + 3!}}{{3!n!}}$ $ = 7n + 3.$ $ \Leftrightarrow \frac{{n + 4n + 3n + 2}}{6}$ $ – \frac{{n + 3n + 2n + 1}}{6}$ $ = 7n + 3.$ $ \Leftrightarrow \frac{{n + 4n + 2}}{6}$ $ – \frac{{n + 2n + 1}}{6} = 7$ $ \Leftrightarrow n + 4n + 2 – n + 2n + 1 = 42.$ $ \Leftrightarrow 3n + 6 = 42$ $ \Leftrightarrow n = 12.$ Khi đó ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^n}$ $ = {\left {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{ – 3}}} \right^k}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12 – k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{\left {{x^{ – 3}}} \right^k}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12 – k}}$ $ = C_{12}^k{x^{\frac{{60 – 11k}}{2}}}.$ Để có hệ số chứa ${x^8}$ thì $\frac{{60 – 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow 60 – 11k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^4 = \frac{{12!}}{{4!12 – 4!}} = 495.$Bài 9 Cho khai triển ${\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}} + {2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^n}$ $ = C_n^0{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^n}$ $ + C_n^1{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^{n – 1}}\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right$ $ + \ldots + C_n^{n – 1}\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^{n – 1}}$ $ + C_n^n{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^n}$ $n$ là số nguyên dương. Biết rằng trong khai triển đó có $C_n^3 = 5C_n^1$ và số hạng thứ tư bằng $140.$ Tìm $n$ và $x.$ Lời giải Xét phương trình ${C_n^3 = 5C_n^1}$ điều kiện ${n \ge 3}$. Ta có $C_n^3 = 5C_n^1$ $ \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!n – 3!}} = 5\frac{{n!}}{{n – 1!}}$ $ \Leftrightarrow \frac{{nn – 1n – 2}}{6} = 5n.$ $ \Leftrightarrow \frac{{n – 1n – 2}}{6} = 5$ $ \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 7}\\ {n = – 4\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Số hạng thứ tư trong khai triển là $C_n^3{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^{n – 3}}{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^3}$ $ = C_7^3{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^4}{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^3}.$ Theo đề bài ta có $C_7^3{\left {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right^4}{\left {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right^3} = 140$ $ \Leftrightarrow { – 2}}{.2^{ – x}} = 140$ $ \Leftrightarrow {2^{x – 2}} = 4$ $ \Leftrightarrow x – 2 = 2$ $ \Leftrightarrow x = 4.$ Vậy $n = 7$ và $x = 4.$Bài 10 Với $n$ là số nguyên dương, gọi ${a_{3n – 3}}$ là hệ số của ${x^{3n – 3}}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}.$ Tìm $n$ để ${a_{3n – 3}} = 26n.$Lời giải Ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}$ $ = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}}$ $ + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n$ $1.$ Và ${x + 2^n}$ $ = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}}$ $ + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + {2^3}C_n^3{x^{n – 3}}$ $ + \ldots + {2^n}C_n^n$ $2.$ Với $n = 1$, ta có ${\left {{x^2} + 1} \right^n}{x + 2^n}$ $ = \left {{x^2} + 1} \rightx + 2$ $ = {x^3} + 2{x^2} + x + 2$ không thỏa mãn hệ thức ${a_{3n – 3}} = 26n.$ Tương tự với $n = 2$, cũng không thỏa mãn. Với $n \ge 3$, ta có ${x^{3n – 3}} = {x^{2n}}.{x^{n – 3}}$ $ = {x^{2n – 2}}.{x^{n – 1}}.$ Suy ra hệ số chứa ${x^{3n – 3}}$ bằng tổng của tích hệ số chứa ${x^{2n}}$ trong $1$ với hệ số chứa ${x^{n – 3}}$ trong $2$ và tích hệ số chứa ${x^{2n – 2}}$ trong $1$ với hệ số chứa ${x^{n – 1}}$ trong $2.$ Hay ta có ${a_{3n – 3}} = {2^3}.C_n^ + $ \Leftrightarrow {2^3}.1.\frac{{n!}}{{3!n – 3!}} + 2{n^2} = 26n.$ $ \Leftrightarrow \frac{{4nn – 1n – 2}}{3} + 2{n^2} = 26n$ $ \Leftrightarrow \frac{{2n – 1n – 2}}{3} + n = 13.$ $ \Leftrightarrow 2{n^2} – 3n – 35 = 0$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {n = 5}\\ {n = – \frac{7}{2}\,\,{\rm{loại}}} \end{array}} \right..$ Vậy $n = 5.$ Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số của số hạng chứa ${x^h}$ trong khai triển nhị thức Newton khi biết số mũ $n$, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Phương pháp + Áp dụng khai triển ${a + b^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {a^{n – k}}{b^k}.$ + Xác định số hạng tổng quát $C_n^k{a^{n – k}}{b^k}.$ + Dùng các công thức lũy thừa chuyển số hạng tổng quát dưới dạng $A.{x^{fk}}$ với $x$ là ẩn. + Đối chiếu với giả thiết giải phương trình $fk = h$, tìm $k$ tương ứng. + Suy ra hệ số cần tìm. Lưu ý Một số tính chất của lũy thừa ${a^m}.{a^n} = {a^{m + n}}.$ $\frac{{{a^m}}}{{{a^n}}} = {a^{m – n}}.$ ${\left {{a^m}} \right^n} = {a^{ ${ab^m} = {a^m}.{b^m}.$ ${\left {\frac{a}{b}} \right^m} = \frac{{{a^m}}}{{{b^m}}}.$ $\frac{1}{{{a^n}}} = {a^{ – n}}.$ $\sqrt[m]{{{a^n}}} = {a^{\frac{n}{m}}}.$ $\sqrt[m]{{\sqrt[n]{a}}} = \sqrt[{mn}]{a}.$2. BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1 Tìm hệ số của ${x^{31}}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^k}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40 – k}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{3k – 80}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{40}^k{x^{3k – 80}}.$ Để có hệ số của ${x^{31}}$ thì $3k – 80 = 31$ $ \Leftrightarrow k = 37.$ Vậy hệ số của ${x^{31}}$ là $C_{40}^{37} = 9880.$Bài 2 Tìm hệ số không chứa $x$ của khai triển nhị thức Newton của ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ với $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{x} + \frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\sqrt[3]{x}^{7 – k}}{\left {\frac{1}{{\sqrt[4]{x}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{7 – k}}{3}}}.\frac{1}{{{x^{\frac{k}{4}}}}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{28 – 7k}}{{12}}}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{28 – 7k}}{{12}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_7^4 = 35.$Bài 3 Tìm hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} – xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}.{ – xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} .{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k.{ – 1^k}.{x^{45 – 2k}}.{y^k}.$ Hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ là $C_{15}^k.{ – 1^k}$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 29}\\ {k = 8} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của ${x^{29}}{y^8}$ trong khai triển là $C_{15}^8.{ – 1^8} = 6435.$Bài 4 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $x > 0.$Lời giải Ta có ${\left {2x + \frac{1}{{\sqrt[5]{x}}}} \right^{18}}$ $ = {\left {2x + {x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^{18}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {2x^{18 – k}}{\left {{x^{ – \frac{1}{5}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{18} {C_{18}^k} {.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}.{x^{\frac{{90 – 6k}}{5}}}.$ Hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^k{.2^{18 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{90 – 6k}}{5} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 15.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{18}^{15}{.2^3} = 6528.$Bài 5 Tìm hệ số không chứa $x$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{\sqrt[3]{{{x^2}}}}} + \sqrt[4]{{{x^3}}}} \right^{17}}$ với $x \ne 0.$Lời giải Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{17}^k{\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{17 – k}}{\left {{x^{\frac{3}{4}}}} \right^k}$ $ = C_{17}^k{x^{\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2}}}$ với $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {k \le 17} \end{array}} \right..$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $\frac{{17}}{{16}}k – \frac{{17}}{2} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{17}^8 = 24310.$Bài 6 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{ – 3}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{5}{2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{ – 72 + 11k}}{2}}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 72 + 11k}}{2} = 8$ $ \Leftrightarrow k = 8.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{12}^8 = 495.$Bài 7 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {2{x^3} + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {2{x^3}} \right^{10 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^{30 – 5k}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}$ với $k$ thỏa mãn $30 – 5k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^6{2^4} = 3360.$Bài 8 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{15 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{15 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $15 – 2k = 7$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^7}$ trong khai triển là $C_{15}^4 = 1365.$Bài 9 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển ${\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có $ = {\left {2x – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2x^{10 – k}}{\left { – \frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{2^{10 – k}}{ – 1^k}{x^{10 – 2k}}.$ Để có số hạng không chứa $x$ thì $10 – 2k = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{10}^5{2^5}{ – 1^5} = – 8064.$Bài 10 Tìm hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^2} – 2x} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left {{x^2}} \right^{10 – k}}{ – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} { – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^k{ – 2^k}{x^{20 – k}}.$ Hệ số của ${x^{16}}$ là $C_{10}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – k = 16$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hệ số của ${x^{16}}$ trong khai triển $C_{10}^4{ – 2^4} = 3360.$Bài 11 Tìm hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}.$Lời giải Ta có ${\left {{x^3} + xy} \right^{15}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {\left {{x^3}} \right^{15 – k}}{xy^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k} {x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{15}^k{x^{45 – 2k}}{y^k}.$ Hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ là $C_{15}^k$ với $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {45 – 2k = 25}\\ {k = 10} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k = 10.$ Vậy hệ số của ${x^{25}}{y^{10}}$ trong khai triển là $C_{15}^{10} = 3003.$Bài 12 Tìm hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển của nhị thức Newton ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}.$Lời giải Ta có ${\left {x – \frac{2}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} {x^{20 – k}}{\left { – \frac{2}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {C_{20}^k} { – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}{x^{20 – 2k}}.$ Hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ trong khai triển là $C_{20}^k{ – 2^k}$ với $k$ thỏa mãn $20 – 2k = 8$ $ \Leftrightarrow k = 6.$ Vậy hệ số của số hạng chứa ${x^8}$ là $C_{20}^6{ – 2^6} = 2480640.$Bài 13 Tìm hệ số của ${x^8}$ trong khai triển thành đa thức của ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}.$Lời giải Ta có ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ $ = C_8^0 + C_8^1{x^2}1 – x$ $ + C_8^2{x^4}{1 – x^2} + C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ $ + C_8^4{x^8}{1 – x^4} + C_8^5{x^{10}}{1 – x^5}$ $ + C_8^6{x^{12}}{1 – x^6} + C_8^7{x^{14}}{1 – x^7}$ $ + C_8^8{x^{16}}{1 – x^8}.$ Nhận xét Bậc của $x$ trong $3$ số hạng đầu luôn nhỏ hơn $8.$ Bậc của $x$ trong $4$ số hạng cuối luôn lớn hơn $8.$ Do đó ${x^8}$ chỉ có trong số hạng thứ tư và thứ năm. Xét trong khai triển $C_8^3{x^6}{1 – x^3}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Xét trong khai triển $C_8^4{x^8}{1 – x^4}$ thì hệ số của ${x^8}$ là $C_8^ Vậy hệ số của ${x^8}$ trong khai triển ${\left[ {1 + {x^2}1 – x} \right]^8}$ là $C_8^ + C_8^ = 238.$Bài 14 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển ${x + 1^4} + {x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là tổng hệ số của ${x^5}$ trong từng khai triển ${x + 1^i}$, $i = \overline {4…7} .$ Nhận xét rằng trong khai triển ${x + 1^4}$ không chứa ${x^5}.$ Ta có ${x + 1^5} + {x + 1^6} + {x + 1^7}$ $ = \sum\limits_{{k_1} = 0}^5 {C_5^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + \sum\limits_{{k_2} = 0}^6 {C_6^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \sum\limits_{{k_3} = 0}^7 {C_7^{{k_3}}} {x^{{k_3}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = 5$ ta được hệ số của ${x^5}$ trong khai triển là $C_5^5 + C_6^5 + C_7^5 = 28.$Bài 15 Cho đa thức $Px = {1 + x^9} + {1 + x^{10}}$ $ + {1 + x^{11}} + \ldots + {1 + x^{14}}$ có dạng khai triển là $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{14}}{x^{14}}.$ Hãy tính hệ số ${a_9}.$Lời giải Để tính hệ số ${a_9}$ là hệ số của ${x^9}$ ta tính hệ số ${a_9}$ trong từng nhị thức của $Px$ rồi tính tổng của chúng. Xét khai triển ${1 + x^9} = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_9^9.$ Xét khai triển ${1 + x^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^k}.$ Hệ số của ${x^9}$ trong khai triển trên tương ứng $k = 9$ là $C_{10}^9.$ Thực hiện tương tự cho các nhị thức còn lại trong $Px$ ta được ${a_9} = C_9^9 + C_{10}^9 + C_{11}^9 + C_{12}^9 + C_{13}^9 + C_{14}^9 = 3003.$Bài 16 Cho $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}.$ Sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm bao nhiêu số hạng?Lời giải Ta có $A = {\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}} + {\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – k}}{\left {{x^{ – 2}}} \right^k}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{\left {{x^3}} \right^{10 – h}}{\left {{x^{ – 1}}} \right^h}.$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{20} {{{ – 1}^k}} C_{20}^k{x^{20 – 3k}}$ $ + \sum\limits_{h = 0}^{10} {{{ – 1}^h}} C_{10}^h{x^{30 – 4h}}.$ Trong khai triển ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ có $21$ số hạng và khai triển ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $11$ số hạng. Xét trường hợp $20 – 3k = 30 – 4h$ $ \Leftrightarrow 4h – 10 = 3k.$ Vì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \in N}\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ suy ra $4h – 10$ phải chia hết cho $3.$ Mặt khác $0 \le h \le 10$, suy ra $h = 4$, $h = 7$, $h = 10.$ Suy ra trong hai khai triển của ${\left {x – \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{20}}$ và ${\left {{x^3} – \frac{1}{x}} \right^{10}}$ có $3$ số hạng có lũy thừa của $x$ giống nhau. Vì vậy sau khi khai triển và rút gọn thì biểu thức $A$ gồm có $21 + 11 – 3 = 29$ số 17 Tìm hệ số của ${x^5}$ trong khai triển thành đa thức của $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}.$Lời giải Hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ bằng tổng hệ số chứa ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5}$ và ${x^2}{1 + 3x^{10}}.$ Xét khai triển $x{1 – 2x^5}$ $ = x.\sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^5 {C_5^k} { – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_5^k{ – 2^k}{x^{k + 1}}.$ Chọn $k = 4$ ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_5^4{ – 2^4} = 80.$ Xét khai triển ${x^2}{1 + 3x^{10}}$ $ = {x^2}\sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3x^h}$ $ = \sum\limits_{h = 0}^{10} {C_{10}^h} {3^h}{x^{h + 2}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{10}^h{3^h}{x^{h + 2}}.$ Chọn $h=3$, ta được hệ số của ${x^5}$ là $C_{10}^3{3^3} = 3240.$ Vậy hệ số của ${x^5}$ trong khai triển $x{1 – 2x^5} + {x^2}{1 + 3x^{10}}$ là $80 + 3240 = 3320.$Bài 18 Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}.$Lời giải Ta có ${\left {\frac{x}{{\sqrt[5]{x}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = {\left {{x^{\frac{4}{5}}} + {x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^{12}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left {{x^{\frac{4}{5}}}} \right^{12 – k}}{\left {{x^{\frac{{ – 28}}{{25}}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{12}^k{x^{\frac{{240 – 48k}}{{25}}}}.$ Số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{240 – 48k}}{{25}} = 0$ $ \Leftrightarrow k = 5.$ Vậy số hạng không chứa $x$ trong khai triển là $C_{12}^k = 729.$ Bài 19 Gọi ${a_0}$, ${a_1}$, ${a_2}$, …, ${a_{11}}$ là hệ số trong khai triển ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = {x^{11}} + {a_1}{x^{10}} + {a_2}{x^9} + \ldots . + {a_{10}}x + {a_{11}}.$ Tìm hệ số của ${a_5}.$Lời giải Ta có ${x + 1^{10}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}x + 2$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}} + \sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Ta có hệ số ${a_5}$ chính là hệ số của ${x^6}$ trong khai triển. Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11 – k}}$ có số hạng tổng quát là $C_{10}^k{x^{11 – k}}.$ Chọn $k = 5$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $C_{10}^5.$ Xét tổng $\sum\limits_{k = 0}^{10} 2 C_{10}^k{x^{10 – k}}$ có số hạng tổng quát là $2C_{10}^k{x^{10 – k}}.$ Chọn $k = 4$, ta được hệ số của số hạng chứa ${x^6}$ là $2C_{10}^4.$ Vậy ${a_5} = C_{10}^5 + 2C_{10}^4 = 672.$Bài 20 Tìm hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{x}} \right^{10}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – k}}{\left {\frac{1}{x}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{10}^k{x^{10 – 2k}}.$ Chọn $k = 3$, ta được hệ số của số hạng thứ tư trong khai triển đó là $C_{10}^3 = 120.$Bài 21 Tìm hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}.$Lời giải Ta có ${\left {x + \frac{1}{{{x^2}}}} \right^{40}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – k}}{\left {\frac{1}{{{x^2}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{40} {C_{40}^k} {x^{40 – 3k}}.$ Số hạng thứ $k +1$ trong khai triển là ${T_{k + 1}} = C_{40}^k{x^{40 – 3k}}.$ Chọn $k = 30$, ta được hệ số của số hạng thứ $31$ trong khai triển là $C_{40}^{30} = 847660528.$Bài 22 Tìm hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}.$Lời giải Ta có ${\left {\sqrt[3]{{{x^{ – 2}}}} + x} \right^7}$ $ = {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}} + x} \right^7}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left {{x^{ – \frac{2}{3}}}} \right^{7 – k}}{x^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}.$ Hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^k{x^{\frac{{ – 14 + 5k}}{3}}}$ với $k$ thỏa mãn $\frac{{ – 14 + 5k}}{3} = 2$ $ \Leftrightarrow k = 4.$ Vậy hạng tử chứa ${x^2}$ trong khai triển là $C_7^4{x^2} = 35{x^2}.$Bài 23 Cho đa thức $Px = 1 + x + 2{1 + x^2}$ $ + 3{1 + x^3} + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ được viết dưới dạng $Px = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{20}}{x^{20}}.$ Tìm hệ số ${a_{15}}$?.Lời giải Hệ số ${a_{15}}$ là hệ số của ${x^{15}}$ trong khai triển $Px.$ Ta nhận thấy ${x^{15}}$ chỉ xuất hiện trong số hạng khai triển thứ $15$ trở đi, tức là trong tổng $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + 17{1 + x^{17}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}.$ Mà $15{1 + x^{15}}$ $ + 16{1 + x^{16}}$ $ + \ldots + 20{1 + x^{20}}$ $ = 15\sum\limits_{{k_1} = 0}^{15} {C_{15}^{{k_1}}} {x^{{k_1}}}$ $ + 16\sum\limits_{{k_2} = 0}^{16} {C_{16}^{{k_2}}} {x^{{k_2}}}$ $ + \ldots + 20\sum\limits_{{k_6} = 0}^{20} {C_{20}^{{k_6}}} {x^{{k_6}}}.$ Chọn ${k_1} = {k_2} = {k_3} = \ldots = {k_6}$ ta được hệ số của $x^{15}$ trong khai triển $Px$ là $15C_{15}^{15} + 16C_{16}^{15}$ $ + 17C_{17}^{15} + \ldots + 20C_{20}^{15}$ $ = 400995.$Bài 24 Khai triển $Px = {3 + x^{50}}$ $ = {a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_{50}}{x^{50}}.$ a/ Tính hệ số ${a_{46}}.$ b/ Tính tổng $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}.$Lời giải a Ta có ${3 + x^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}{x^k}$ $*.$ Ta có ${a_k} = C_{50}^k{3^{50 – k}}$, $\forall k = \overline {0..50} .$ Suy ra ${a_{46}} = C_{50}^{46}{3^4} = 18654300.$ b Nhận thấy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}.$ Từ $*$ chọn $x= 1$, ta được ${3 + 1^{50}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}}$ $ \Leftrightarrow \sum\limits_{k = 0}^{50} {C_{50}^k} {3^{50 – k}} = {4^{50}}.$ Vậy $S = {a_0} + {a_1} + {a_2} + \ldots + {a_{50}} = {4^{50}}.$Bài 25 a/ Tìm số hạng của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ là một số nguyên. b/ Tìm số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}.$ c/ Xác định các số hạng hữu tỉ của khai triển ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}.$ d/ Có bao nhiêu hạng tử nguyên của khai triển ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}.$Lời giải a Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[3]{2}} \right^9}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {2^{\frac{1}{3}}}} \right^9}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {\left {{3^{\frac{1}{2}}}} \right^{9 – k}}{\left {{2^{\frac{1}{3}}}} \right^k}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^9 {C_9^k} {3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_9^k{3^{\frac{{9 – k}}{2}}}{2^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển là số hạng có $k$ thỏa mãn $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {9 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..9} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 3}\\ {k = 9} \end{array}} \right..$ Vậy các số hạng nguyên trong khai triển là ${T_4} = C_9^3{.3^3}.2 = 4536$, ${T_{10}} = C_9^9{2^3} = 8.$ b Ta có ${\left {\sqrt 3 – \sqrt {15} } \right^6}$ $ = {3^3}{\left {1 – \sqrt 5 } \right^6}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^6 2 7C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $27C_6^k{ – 1^k}{.5^{\frac{k}{2}}}.$ Để có số hạng hữu tỷ thì ${5^{\frac{k}{2}}}$ là số hữu tỷ, suy ra $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k \vdots 2}\\ {k = \overline {0..6} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 0;2;4;6\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ là ${T_1} = 27C_6^0 = 27$, ${T_3} = 27C_6^2.{ – 1^2}.5 = 810$, ${T_5} = 27C_6^4{ – 1^4}{.5^2} = 10125$, ${T_7} = 27C_6^6{ – 1^6}{.5^3} = 3375.$ c Ta có ${\left {\sqrt[5]{3} + \sqrt[3]{7}} \right^{36}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{5}}} + {7^{\frac{1}{3}}}} \right^{36}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{36} {C_{36}^k} {3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{36}^k{3^{\frac{{36 – k}}{5}}}{.7^{\frac{k}{3}}}.$ Số hạng hữu tỷ trong khai triển là số hạng chứa $k$ thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {36 – k \vdots 5}\\ {k \vdots 3}\\ {k = \overline {0..36} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow k \in \{ 6;21;36\} .$ Vậy các số hạng hữu tỷ trong khai triển là ${T_7} = C_{36}^6{3^6}{7^2}$, ${T_{22}} = C_{36}^{21}{3^3}{7^7}$, ${T_{37}} = C_{36}^{36}{7^{12}}.$ d Ta có ${\left {\sqrt 3 + \sqrt[4]{5}} \right^{124}}$ $ = {\left {{3^{\frac{1}{2}}} + {5^{\frac{1}{4}}}} \right^{124}}$ $ = \sum\limits_{k = 0}^{124} {C_{124}^k} {.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng tổng quát trong khai triển là $C_{124}^k{.3^{\frac{{124 – k}}{2}}}{.5^{\frac{k}{4}}}.$ Số hạng nguyên trong khai triển thỏa mãn điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {124 – k \vdots 2}\\ {k \vdots 4}\\ {k = \overline {0..124} } \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {k = 4h}\\ {k = \overline {0..124} }\\ {h \in N} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow 0 \le 4h \le 124$ $ \Leftrightarrow 0 \le h \le 31.$ Vậy có $32$ số hạng nguyên trong khai triển.

tìm hệ số của số hạng chứa x 8